Construction du pentagone régulier à la règle et au compas

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , on considère le point $\text{A}$ d'affixe $1$ . On souhaite construire le pentagone régulier $\text{ABCDE}$ tel que $(\overrightarrow{\text{O}\text{A}};\overrightarrow{\text{O}\text{B}})={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ .  Le point $\text{B}$ a ainsi pour affixe $\omega ={\text{e}}^{2i\frac{\pi }{5}}$ .

1. Montrer que $1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0$ .

2. Exprimer ${\omega }^3$ et ${\omega }^4$  en fonction de $\bar{\omega }$ .

On pose $u=\omega +\bar{\omega }$ .

3. a. Montrer que $u$ est un nombre réel strictement positif.
    b. Exprimer $u^2$ en fonction de ${\omega }^2$ et ${\omega }^3$ , puis en déduire une équation du second degré vérifiée par $u$ .
    c. En déduire que $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$ .

4. Proposer une construction à la règle et au compas du point $B$ , puis tracer le pentagone régulier $\text{ABCDE}$ .