Construction du pentagone régulier à la règle et au compas

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((\text O;\vec{u},\vec{v})\) , on considère le point \(\text A\) d'affixe `1` . On souhaite construire le pentagone régulier \(\text {ABCDE}\) tel que \(\left(\overrightarrow{\text O\text A};\overrightarrow{\text O\text B}\right)=\dfrac{2\pi}{5}\) .  Le point \(\text B\) a ainsi pour affixe \(\omega=\text e^{2i\frac{\pi}{5}}\) .

1. Montrer que \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\) .

2. Exprimer \(\omega^3\) et \(\omega^4\)  en fonction de \(\overline{\omega}\) .

On pose \(u=\omega+ \overline{\omega}\) .

3. a. Montrer que \(u\) est un nombre réel strictement positif.
    b. Exprimer \(u^2\) en fonction de \(\omega^2\) et \(\omega^3\) , puis en déduire une équation du second degré vérifiée par \(u\) .
    c. En déduire que \(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{5} \right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .

4. Proposer une construction à la règle et au compas du point \(B\) , puis tracer le pentagone régulier \(\text {ABCDE}\) .